Integrales Impropias: Intervalos Infinitos e Integrados Discontinuos
Las integrales impropias son un tipo especial de integral que aparece cuando el intervalo de integración es infinito o cuando la función a integrar tiene una discontinuidad dentro del intervalo. Este tipo de integrales son muy útiles en matemáticas avanzadas, física e ingeniería, ya que nos permiten analizar funciones y áreas en situaciones límites o no acotadas.
Tipo 1: Integrales Impropias con Intervalos Infinitos
Este tipo de integral impropia aparece cuando uno o ambos límites de integración se extienden al infinito. Por ejemplo, la integral de una función en el intervalo \([a, \infty)\) o \((-\infty, b]\).
Para calcular una integral impropia en un intervalo infinito, reemplazamos el límite infinito con una variable y tomamos el límite de esa variable cuando tiende a infinito.
Ejemplo: Considera la integral impropia
\[\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\]
Para resolverla, planteamos el límite:
\[\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} \, dx\]
Ahora integramos \( \frac{1}{x^2} \):
\[= \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} + \frac{1}{1} \right)\]
Al evaluar el límite:
\[= 0 + 1 = 1\]
Por lo tanto, el valor de la integral impropia es 1. Cuando el resultado es finito, decimos que la integral converge; en caso contrario, diverge.
Tipo 2: Integrales Impropias con Integrandos Discontinuos
Este tipo de integral impropia ocurre cuando la función tiene una discontinuidad en algún punto del intervalo de integración, ya sea en un extremo o dentro del intervalo. Esto sucede, por ejemplo, cuando el integrando se vuelve infinito en algún punto.
Para resolver este tipo de integrales, dividimos el intervalo en subintervalos para evitar la discontinuidad y usamos límites en torno al punto problemático.
Ejemplo: Considera la integral impropia
\[\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\]
La función \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) tiene una discontinuidad en \( x = 0 \), ya que tiende a infinito cuando \( x \to 0 \).
Para calcular esta integral, planteamos un límite en torno a la discontinuidad:
\[\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{a \to 0^{+}} \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\]
Ahora integramos \( \frac{1}{\sqrt{x}} \):
\[= \lim_{a \to 0^{+}} \left[ 2\sqrt{x} \right]_{a}^{1} = \lim_{a \to 0^{+}} \left( 2\sqrt{1} - 2\sqrt{a} \right)\]
Al evaluar el límite:
\[= 2 - 0 = 2\]
Entonces, la integral impropia converge a 2.