Área entre Curvas: Cómo Calcular el Espacio entre Funciones
Uno de los problemas más interesantes y comunes en el cálculo integral es el de calcular el área entre dos curvas. Este concepto es fundamental en disciplinas como la física, la ingeniería y la economía, donde a menudo es necesario saber el área entre funciones que representan fenómenos distintos.
¿Qué es el Área entre Curvas?
El área entre curvas es el espacio contenido entre dos funciones en un intervalo específico. Para calcularla, necesitamos establecer cuál función está "arriba" y cuál está "abajo" en el intervalo de interés. Luego, usamos la integración para sumar el espacio entre estos puntos, restando una función de la otra.
**Ejemplo visual**: Imagina dos curvas en un gráfico, \( f(x) \) y \( g(x) \), en un intervalo de \( x = a \) a \( x = b \). El área entre estas dos curvas en el intervalo \([a, b]\) se encuentra integrando la diferencia entre ambas.
Fórmula del Área entre Curvas
Para encontrar el área entre dos curvas \( f(x) \) y \( g(x) \) en un intervalo dado \([a, b]\), primero identificamos cuál función está "arriba" y cuál está "abajo". Si \( f(x) \geq g(x) \) en el intervalo \([a, b]\), el área \( A \) entre las dos curvas es:
\[A = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx\]
Esta fórmula nos dice que el área es simplemente la integral de la diferencia entre las dos funciones en el intervalo \([a, b]\).
Pasos para Calcular el Área entre Curvas
1. Identificar las Funciones y el Intervalo: Determina las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) y el intervalo de integración \([a, b]\).
2. Determinar la Función Superior: Asegúrate de identificar cuál de las dos funciones es mayor en el intervalo, ya que debe ir en la primera posición de la resta (función "de arriba" menos función "de abajo").
3. Integrar la Diferencia: Usa la fórmula \( \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx \) para integrar la diferencia entre las funciones en el intervalo.
4. Interpretar el Resultado: El valor obtenido de la integral es el área entre las dos curvas en el intervalo especificado.
Ejemplo Práctico: Área entre dos Curvas
Supongamos que queremos encontrar el área entre las funciones \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = x + 2 \) en el intervalo \([0, 1]\).
1. Función Superior
Para \( x \) en \([0, 1]\), notamos que \( g(x) = x + 2 \) está por encima de \( f(x) = x^2 \), ya que \( g(x) \geq f(x) \) en este intervalo.
2. Fórmula de Integración
El área entre \( f(x) \) y \( g(x) \) en \([0, 1]\) es:
\[A = \int_{0}^{1} [(x + 2) - x^2] \, dx\]
3. Resolver la Integral
Expandimos y resolvemos la integral:
\[A = \int_{0}^{1} (x + 2 - x^2) \, dx\]
Integramos término a término:
\[A = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}\]
Al evaluar en los límites, obtenemos:
\[A = \left( \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} \right) - (0 + 0 - 0) = \frac{7}{6}\]
Así, el área entre las curvas en el intervalo \([0, 1]\) es \( \frac{7}{6} \) unidades cuadradas.