1. Volumen e Integrales Dobles
Las integrales dobles permiten calcular volúmenes y áreas bajo superficies en el espacio. Si \( f(x, y) \) es continua sobre una región \( R \) en el plano \( xy \), el volumen entre la superficie \( z = f(x, y) \) y \( R \) es dado por:
\[\iint_R f(x, y) \, dA\]
2. Integrales Dobles sobre Regiones Generales
Las integrales dobles pueden evaluarse sobre regiones generales:
- Regiones de Tipo 1: Regiones donde \( x \) varía entre límites constantes y \( y \) depende de \( x \).
\[\iint_R f(x, y) \, dA = \int_{a}^{b} \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) \, dy \, dx\]
- Regiones de Tipo 2: Regiones donde \( y \) varía entre límites constantes y \( x \) depende de \( y \).
\[\iint_R f(x, y) \, dA = \int_{c}^{d} \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y) \, dx \, dy\]
3. Integrales Triples
Las integrales triples permiten calcular volúmenes de regiones tridimensionales. Para una función \( f(x, y, z) \) en una región \( E \), el volumen se expresa como:
\[\iiint_E f(x, y, z) \, dV\]
4. Teorema de Fubini para las Integrales Triples
El teorema de Fubini permite descomponer una integral triple en iteradas, lo que facilita la evaluación. Si \( f(x, y, z) \) es continua en \( E \), entonces:
\[\iiint_E f(x, y, z) \, dV = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{e}^{f} f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz\]
Este teorema simplifica los cálculos cuando se puede descomponer la región en intervalos independientes.