1. Regla de la Cadena
La regla de la cadena en funciones de varias variables permite calcular la derivada de una función compuesta. Si \( z = f(x, y) \) y \( x \) y \( y \) dependen de otra variable \( t \), la derivada de \( z \) respecto a \( t \) se calcula como:
\[\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}\]
Esto se aplica cuando una función depende indirectamente de una o más variables.
2. Diagrama de Árbol
Un diagrama de árbol ayuda a visualizar las relaciones de dependencia entre variables en aplicaciones de la regla de la cadena. Cada rama representa una variable o función, y el diagrama muestra cómo cada variable se conecta y contribuye al cambio total de la función compuesta.
3. Derivadas Direccionales
La derivada direccional mide la tasa de cambio de una función en la dirección de un vector dado \( \vec{u} \). Para una función \( f(x, y) \), la derivada direccional en la dirección de \( \vec{u} \) es:
\[D_{\vec{u}} f = \nabla f \cdot \vec{u} = \frac{\partial f}{\partial x} u_x + \frac{\partial f}{\partial y} u_y\]
donde \( \nabla f \) es el vector gradiente. Las derivadas direccionales son útiles para encontrar el cambio de una función en cualquier dirección especificada.
4. Vector Gradiente
El vector gradiente \( \nabla f \) de una función \( f(x, y, z) \) es un vector que apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función y cuya magnitud representa la tasa de cambio en esa dirección. Para \( f(x, y, z) \), el gradiente es:
\[\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle\]
Este vector es fundamental en optimización y en el cálculo de derivadas direccionales.