1. Producto Cruz
El producto cruz entre dos vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) en el espacio produce un tercer vector \( \vec{u} \times \vec{v} \) que es perpendicular a ambos. Su magnitud representa el área del paralelogramo formado por \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \):
\[|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta\]
donde \( \theta \) es el ángulo entre los vectores.
2. Momentos de Torsión y Producto Cruz
El momento de torsión o **momento** de una fuerza \( \vec{F} \) aplicada en un punto de posición \( \vec{r} \) respecto a un punto de referencia (generalmente el origen) se calcula usando el producto cruz:
\[\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\]
Este momento mide la tendencia de la fuerza a hacer girar un objeto alrededor del punto de referencia.
3. Propiedades del Producto Cruz
Algunas propiedades clave del producto cruz son:
- **Anticonmutatividad**: \( \vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u}) \)
- **Distributividad**: \( \vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w} \)
- **Asociatividad con escalares**: \( c(\vec{u} \times \vec{v}) = (c\vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times (c\vec{v}) \)
4. El Producto Cruz Expresado mediante sus Componentes
Para calcular el producto cruz entre dos vectores \( \vec{u} = \langle u_x, u_y, u_z \rangle \) y \( \vec{v} = \langle v_x, v_y, v_z \rangle \), se usa el determinante:
\[\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} = \langle u_y v_z - u_z v_y, u_z v_x - u_x v_z, u_x v_y - u_y v_x \rangle\]
5. Producto Triple
El producto triple de tres vectores \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), y \( \vec{w} \) es una combinación del producto cruz y el producto punto:
\[\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\]
Este valor representa el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores.
6. Planos
Un plano en el espacio puede definirse mediante un punto y un vector normal \( \vec{n} = \langle a, b, c \rangle \). La ecuación del plano es:
\[ax + by + cz = d\]
donde \( d \) es una constante.
7. Coordenadas Cilíndricas
En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto en el espacio se representa como \( (r, \theta, z) \):
- \( r \): distancia radial en el plano \( xy \)
- \( \theta \): ángulo respecto al eje \( x \)
- \( z \): altura respecto al plano \( xy \)
8. Coordenadas Esféricas
En coordenadas esféricas, un punto se describe como \( (\rho, \theta, \phi) \):
- \( \rho \): distancia desde el origen
- \( \theta \): ángulo en el plano \( xy \) respecto al eje \( x \)
- \( \phi \): ángulo respecto al eje \( z \)