1. Sistema de Coordenadas Tridimensionales
El sistema de coordenadas tridimensionales utiliza tres ejes perpendiculares —\( x \), \( y \) y \( z \)— para ubicar puntos en el espacio. Cada punto \( P(x, y, z) \) se representa con tres coordenadas, facilitando la representación y análisis de figuras y vectores en 3D.
2. Regla de la Mano Derecha
La **regla de la mano derecha** ayuda a definir la orientación de los ejes en un sistema tridimensional. Colocando el pulgar, índice y medio de la mano derecha perpendiculares entre sí, el pulgar representa el eje \( x \), el índice el eje \( y \), y el dedo medio el eje \( z \).
3. Distancia en Tres Dimensiones
La distancia entre dos puntos \( A(x_1, y_1, z_1) \) y \( B(x_2, y_2, z_2) \) en 3D se calcula con:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]
Este cálculo es fundamental para medir la separación entre puntos en el espacio.
4. Vector
Un **vector** en 3D es una cantidad con magnitud y dirección, representado por sus componentes \( \vec{v} = \langle v_x, v_y, v_z \rangle \). Es esencial en física e ingeniería para describir desplazamientos, fuerzas y velocidades en el espacio.
5. Vector Unitario
Un **vector unitario** tiene magnitud 1 y apunta en la misma dirección que el vector original. Para encontrar el vector unitario \( \hat{u} \) de un vector \( \vec{v} \), usamos:
\[\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\]
Los vectores unitarios se usan para normalizar vectores y facilitar el cálculo de direcciones.
6. Propiedades de los Vectores
Los vectores obedecen a propiedades importantes:
- **Adición**: \( \vec{u} + \vec{v} = \langle u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z \rangle \)
- **Multiplicación por un escalar**: Cambia la magnitud y puede invertir la dirección del vector.
- **Propiedad distributiva**: \( c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v} \)
Estas propiedades facilitan operaciones en el espacio tridimensional.
7. Producto Punto
El producto punto de dos vectores \( \vec{u} = \langle u_x, u_y, u_z \rangle \) y \( \vec{v} = \langle v_x, v_y, v_z \rangle \) se define como:
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z\]
Este producto mide la proyección de un vector sobre otro y es útil para determinar si dos vectores son perpendiculares (el producto punto es cero) o paralelos.