La derivada de una función en un punto mide la
tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.
Ejemplo: La derivada de \(f(x) = x^2\) es \(f'(x) = 2x\).
Teorema
Definición: En cálculo, un teorema es una proposición que ha
sido probada en base a axiomas y otros teoremas.
Ejemplo: El Teorema del Valor Medio establece que si una función es continua en
\([a, b]\) y diferenciable en \((a, b)\), entonces existe un \(c \in (a, b)\)
tal que \(f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\).
Notaciones
Definición: En cálculo, hay varias notaciones para la
derivada, como la notación de Lagrange (\(f'(x)\)), la notación de
Leibniz (\(\frac{df}{dx}\)) y la notación de Newton (\(\dot{f}\)).
Ejemplo: Si \(f(x) = x^3\), entonces la derivada puede ser expresada como
\(f'(x) = 3x^2\) o \(\frac{df}{dx} = 3x^2\).
¿Cómo deja de ser diferenciable una función?
Definición: Una función deja de ser diferenciable en un punto
si tiene una discontinuidad, una esquina o un punto de inflexión vertical en
ese punto.
Ejemplo: La función \(f(x) = |x|\) no
es diferenciable en \(x = 0\).
La segunda derivada
Definición: La segunda derivada de una función es la derivada
de la derivada de la función y proporciona información sobre la concavidad de
la función.
Ejemplo: Si \(f(x) = x^3\), la primera
derivada es \(f'(x) = 3x^2\) y la segunda derivada es \(f''(x)
= 6x\).
Notación de Leibniz
Definición: La notación de Leibniz para la derivada utiliza
el símbolo \(\frac{d}{dx}\) para indicar la tasa de cambio de una función
respecto a una variable.
Ejemplo: Si \(y = x^2\),
entonces la derivada es \(\frac{dy}{dx} = 2x\).
Reglas de derivación
Definición: Las reglas de derivación son fórmulas que
facilitan el cálculo de derivadas, como la regla del producto, la regla del
cociente y la regla de la cadena.
Ejemplo: La
regla del producto establece que \(\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) +
u(x)v'(x)\).