El cálculo es una rama de las matemáticas que se
ocupa del estudio del cambio continuo y de las propiedades de funciones,
utilizando conceptos como límites, derivadas e integrales.
Ejemplo: Encontrar la pendiente de una curva en un punto específico utilizando la
derivada.
Cálculo infinitesimal
Definición: El cálculo infinitesimal es el estudio de
cantidades infinitesimalmente pequeñas y los procedimientos matemáticos para
trabajar con estas cantidades.
Ejemplo: Calcular
la derivada de \(f(x) = x^2\) en \(x = 2\) utilizando la definición de límite.
Recta numérica
Definición: La recta numérica es una representación gráfica
de los números reales como puntos en una línea continua.
Ejemplo: Localizar los puntos correspondientes a los números 3, -1, y \(\sqrt{2}\)
en una recta numérica.
Polinomio
Definición: Un polinomio es una expresión algebraica
compuesta de variables y coeficientes, combinados mediante sumas, restas y
multiplicaciones.
Ejemplo: \(P(x) = 3x^3 - 5x^2 +
2x - 7\).
Función
Definición: Una función es una relación entre dos conjuntos
que asigna a cada elemento del primer conjunto exactamente un elemento del
segundo conjunto.
Ejemplo: \(f(x) = x^2 + 3\).
Función Biunívoca
Definición: Una función biunívoca es una función que es a la
vez inyectiva (uno a uno) y sobreyectiva (sobre), es decir, cada elemento del
dominio tiene una imagen única y cada elemento del codominio es la imagen de
un único elemento del dominio.
Ejemplo: \(f(x) = x
+ 1\) definida en \(\mathbb{R}\) es biunívoca.
Simetría
Definición: La simetría en matemáticas se refiere a una
propiedad donde una figura o función es invariante bajo ciertas
transformaciones, como la reflexión.
Ejemplo: La
función \(f(x) = x^2\) es simétrica respecto al eje \(y\).
Función inversa
Definición: Una función inversa de \(f\) es una función \(g\)
tal que \(g(f(x)) = x\) para todo \(x\) en el dominio de \(f\).
Ejemplo: La función inversa de \(f(x) = 2x + 3\) es \(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\).
Curvas paramétricas
Definición: Las curvas paramétricas se definen mediante un
conjunto de ecuaciones que describen las coordenadas de los puntos de la curva
en función de una o más variables independientes llamadas parámetros.
Ejemplo: \(x(t) = \cos(t)\), \(y(t) = \sin(t)\) para \(t \in [0, 2\pi]\) describe un
círculo unitario.
\(x(t) = \cos(t)\) y \(y(t) = \sin(t)\) para \(t \in [0, 2\pi]\).